Etoiles

Etoiles à 4 branches

Une étoile à 4 branches est formée à partir d'un rectangle sur lequel on colle 4 triangles équilatéraux ; le rectangle du premier dessin ci-dessous est R(r ; 1), donc je noterai l'étoile obtenue Q(r ; 1) ; je l'ai représentée réalisée avec des polyspidrons sans tête, puis avec un noeud.

Il y a ensuite Q(r ; 2) avec 2 noeuds et Q(r ; 3) avec 3 noeuds alignés.

L'aire de Q(xr ; y) est 6x² + 2y² + 4xy : Q(r ; 1), Q(r ; 2) et Q(r ; 3) ont donc comme aires 12, 22 et 36.

On peut essayer Q(2r ; 1), Q(2r ; 2), ... jusqu'à Q(2r ; 6) : ce dernier a une aire de 144 ; le voici à gauche :

                

A droite, on voit Q(r ; 8) avec, en trou, Q(r ; 2).

Il y a toujours les 2 unités d'aire restant (voir Rectangles)

Etoiles à 6 branches

Voici 2 étoiles à 6 branches de côtés 1 et r ; je les noterai E(1) et E(r) :

L'aire d'une étoile E(x) est 12x² ; celle d'une étoile E(xr) est 36x² ; on peut faire, en plus, E(2), E(3) et E(2r) ; voici ce dernier, qui a une aire de 144 :

Etoiles à 12 branches

Voici une étoile à 12 branches d'aire 72 :

La solution ci-dessus utilise 4 bispidrons et 1 monospidron ; le défi ici serait de trouver une solution n'utilisant que des trispidrons :

La figure ci-dessous a une aire de 144 ... mais je n'ose espérer qu'elle ait une solution avec les polyspidrons !!!

Ci-dessous, j'ai représenté l'étoile à 12 branches réalisée par Andrew Clarke avec ses 78 tétraiapons monofaces (voir Polyiapons) ; l'aire de cette figure est de 312 (78 x 4) ; ici il s'agit de remplir la figure avec les polyspidrons (aire 144 avec les mêmes 2 unités restantes) plus les 24 heptiamonds (aire 168) : en effet 144 + 168 = 312.

A bientôt pour d'autres délires !