Polycaires

Pour comprendre l'origine des polycaires, partons du pentagone utilisé dans le pavage du Caire :

 

4 exemplaires de ce pentagone donnent l'hexagone ci-dessous :

Cet hexagone pave le plan :

Pour ce pavage et d'autres, voir l'excellent site de Thérèse Eveilleau.

Moi, bien sûr, je découpe le pentagone en triangles :

On obtient 3 triangles dont 2 sont isocèles rectangles (comme ABC) ; l'autre est isocèle avec des angles de 54°, 63° et 63° (DEF) :

Si on prend pour unité de longueur le côté AB, on a :

 AB = 1 (ainsi que BC)
 ^{(ainsi que AC et DF)  et} 

en utilisant le cosinus de 63°, trouvé ici.

Ces valeurs ne sont pas très intéressantes pour des polymultiformes mais c'est tout à fait par hasard que j'ai remarqué que l'aire de DEF était égale à celle de ABC multipliée par j.
Les aires de ABC et DEF sont en fait 1/2 et j/2 (cela peut se calculer) ; par la suite, je prendrai l'aire de ABC comme unité d'aire ; celle de DEF sera donc j ; ceux qui connaissent les polyores verront l'analogie ; pour les autres, il faudra faire un petit tour ici ou là.


Maintenant que les préliminaires sont finis, entrons dans le vif du sujet :

Si nous replaçons le pentagone découpé dans le pavage vu plus haut, cela donne :



J'appelle polycaires les polymultiformes obtenues par juxtaposition des triangles ci-dessous :

Pour les polycaires, on rajoute une contrainte qui n'était pas nécessaire avec les polyores : les seules formes retenues sont celles qui peuvent s'intégrer dans le pavage vu plus haut. Voici les polycaires formés de 1, 2 ou 3 triangles ; leurs aires sont indiquées en rouge :

Ces 10 polycaires couvrent une aire de 9j + 14. Colorions, dans le pavage, une aire de 9j + 14 ; nous obtenons par exemple :

Nous pouvons essayer de couvrir cette surface de 9j + 14 à l'aide des 10 polycaires ; voici une solution :

Essayez celle-là :